Colocwia Mathemateg

1 Mai 2024

Helen Wilson (Coleg Prifysgol Llundain)

Deall rheoleg daliannau.

Mae deunyddiau sy’n gymysgedd o hylif a solet, yn ôl greddf, yn amlwg yn gymhleth iawn.  O ymledolrwydd (y rheswm y mae tywod gwlyb yn mynd yn sych wrth i chi sathru arno) i deneuo croeswasgu (e.e.,mewn sugndraeth) neu dewychu croeswasgu (e.e. neu gymysgedd o flawd corn a dŵr) eithafol, mae ystod eang o ymddygiadau i’w hesbonio a’u rhagweld. Byddaf i’n trafod yr achos eithaf syml, yn ôl pob golwg, o sfferau solet wedi cymysgu gyda matrics hylifol Newtonaidd, sy’n dal i gyflwyno digon o bethau annisgwyl.

17 Ebrill 2024

Strategaethau cyhoeddi, papurau 4* a'r Fframwaith Rhagoriaeth Ymchwil.

Yn ystod y cyflwyniad, byddaf i’n trafod sut mae asesu’r allbwn yn cael ei roi ar waith yn y Fframwaith Rhagoriaeth Ymchwil (REF), a hynny o safbwynt Aseswr Allbwn blaenorol (REF) is-banel y Gwyddorau Mathemategol yn ystod 2021.  Byddaf i hefyd yn gwneud sylwadau am sut beth yw papur ymchwil o safon 4*, yn ogystal â sut mae modd ei ddefnyddio mewn cyhoeddiadau, rydw i wedi gwneud llawer o waith ymchwil i fathemateg a’i chymwysiadau tra fy mod i’n gweithio mewn rolau ymchwil amrywiol yn y brifysgol.

13 Chwefror 2024

Frank Sottile (Prifysgol A&M Texas)

Grwpiau Galois mewn geometreg rifiadol a chymwysiadau.

Yn 1870 esboniodd Jordan sut y gellir cymhwyso theori Galois i broblemau o geometreg rifiadol, gyda grŵp Galois yn amgodio strwythur cynhenid ​​​​y broblem.  Yn gynharach, dangosodd Hermite gywerthedd grwpiau Galois â grwpiau monodromi geometrig, ac yn 1979 cychwynnodd Harris yr astudiaeth fodern o grwpiau Galois o broblemau rhifiadol.  Dywedodd y dylai grŵp Galois fod “mor fawr â phosibl”, gan mai hwn fydd y grŵp mwyaf i gadw cymesuredd mewnol yn y broblem geometrig.  Byddaf i’n disgrifio’r cefndir hwn ac yn trafod rhywfaint o waith yn rhan o brosiect hirdymor i gyfrifo, astudio a defnyddio grwpiau Galois o broblemau geometrig, gan gynnwys y rhai sy’n codi wrth gymhwyso geometreg algebraidd.  Un ffocws pwysig yw deall grwpiau Galois yn y calcwlws Schubert, dosbarth o broblemau geometrig a ddeellir yn dda sydd wedi bod yn labordy ar gyfer profi syniadau newydd mewn geometreg rifiadol ers tro byd.

6 Rhagfyr 2023

Andrea Liu (Prifysgol Pennsylvania)

Sut y gall systemau ffisegol ddysgu ar eu pen eu hunain.

Er mwyn i rwydweithiau niwral artiffisial ddysgu tasg, mae’n rhaid datrys problem dylunio gwrthdro.  Pa rwydwaith fydd yn cynhyrchu'r allbwn dymunol?  Rydyn ni wedi harneisio dulliau AI ar gyfer dylunio systemau ffisegol i gyflawni ffwythiannau a ysbrydolwyd gan fioleg.  Ond mae angen cyfrifiadur ar rwydweithiau niwral artiffisial er mwyn dysgu o'r brig i lawr trwy leihau ffwythiant cost.  Mewn cyferbyniad, mae'r ymennydd yn dysgu o'r gwaelod i fyny ar ei ben ei hun, gyda phob niwron yn ei addasu ei hun a'i synapsau heb wybod beth mae'r holl niwronau eraill yn ei wneud, a heb gymorth cyfrifiadur allanol.  Rydyn ni wedi cyflwyno dull o ddysgu o’r gwaelod i fyny sydd wedi’i wireddu mewn systemau ffisegol sy’n dysgu ar eu pennau eu hunain.

Alan Sokal (Coleg Prifysgol Llundain)

Positifrwydd llwyr, problem y foment glasurol, a chyfuniadeg rifiadol.

Mae matrics M o rifau real yn cael ei alw'n gwbl bositif os yw pob isrif o M yn annegyddol.  Dangosodd Gantmacher a Kerin yn 1937 fod matrics Hankel H = (a_i+j)_i,j≥0o rifau real yn gwbl bositif os a dim ond os yw'r dilyniant gwaelodol(a_n)_n≥0 yn ddilyniant moment Stieltjes, h.y. y momentau o fesur positif ar [0,∞).  At hynny, mae hyn yn wir os a dim ond os gellir ehangu'r ffwythiant cynhyrchu cyffredin ∑_n≥0 a_n tⁿ fel ffracsiwn parhaus tebyg i Stieltjes gyda chyfernodau annegyddol.  Felly, ceir cyswllt agos rhwng matricsau Hankel cwbl bositif a phroblem moment Stieltjes a gyda ffracsiynau parhaus.  Yma, byddaf i’n cyflwyno cyffredinoliad: bydd matrics M o bolynomialau (mewn rhyw set o amhenodoliaid) yn cael ei alw'n gyfernodol cwbl bositif os yw pob isrif o M yn bolynomial gyda chyfernodau annegyddol.  A bydd dilyniant (a_n)_n≥0 o bolynomialau yn cael ei alw'n gyfernodol Hankel-cwbl bositif os yw'r matrics Hankel H = (a_i+j)_i,j≥0 sy'n gysylltiedig ag (a_n)_n≥0 yn gyfernodol cwbl bositif.  Mae'n ymddangos bod llawer o ddilyniannau polynomialau sy'n codi'n naturiol mewn cyfuniadau rhifiadol yn (empeiraidd) gyfernodol Hankel-cwbl bositif.  Mewn rhai achosion, gellir profi hyn trwy ddefnyddio ffracsiynau parhaus, naill ai trwy ddulliau cyfunol neu algebraidd; byddaf i’n amlinellu sut y gwneir hyn.  Mewn achosion eraill, gellir gwneud hyn gan ddefnyddio dull algebraidd mwy cyffredinol o'r enw matricsau cynhyrchu.  Fodd bynnag, mewn nifer fawr o achosion eraill mae'n parhau i fod yn broblem agored.

18 Hydref 2023

Optimeiddio ym mhresenoldeb amwysedd model ym mhrosesau penderfynu Markov.

Mae optimeiddio penderfyniadau dilyniannol dan ansicrwydd yn hanfodol mewn llawer o gyd-destunau, gan gynnwys rheoli rhestr eiddo, cyllid, gofal iechyd, a llawer o rai eraill.  Un o'r ffurfiau model mwyaf cyffredin yw proses benderfynu Markov (MDP).  Fodd bynnag, gall amwysedd ym mharamedrau model MDP gyflwyno heriau oherwydd bod argymhellion MDPs yn dibynnu ar y model sylfaenol, ac yn aml ceir modelau credadwy niferus.  Er mwyn mynd i'r afael â'r broblem hon, rydyn ni’n cyflwyno fframwaith lle mae penderfynydd yn ystyried modelau niferus o baramedrau amwys MDP ac yn ceisio dod o hyd i bolisi sy'n uchafu mesur cyfanredol o berfformiad mewn perthynas â phob un o'r modelau hyn o MDP, megis gwobrau wedi'u pwysoli, edifeirwch, neu berfformiad achos gwaethaf.  Byddaf i’n trafod cysylltiadau â modelau eraill yn y llenyddiaeth optimeiddio stocastig, canlyniadau cymhlethdod, a dulliau datrys ar gyfer datrys y problemau hyn.  Byddaf i’n amlygu’r dull gyda dwy enghraifft, un yng nghyd-destun triniaeth ataliol ar gyfer clefyd cardiofasgwlaidd a'r llall yng nghyd-destun cynnal a chadw peiriannau.  Yn olaf, byddaf i’n rhoi crynodeb o negeseuon pwysicaf yr astudiaeth

Asesu llwyddiant y ffit ar gyfer modelau’r rhwydwaith

Defnyddir rhwydweithiau yn aml i gynrychioli dibyniaethau cymhleth mewn data, a gall modelau’r rhwydwaith gynorthwyo'r ddealltwriaeth o ddibyniaethau o'r fath.  Gall y modelau hyn fod yn baramedrig, ond gallent hefyd fod ymhlyg, fel allbwn generadur data synthetig awtomataidd.  Er mwyn asesu addasrwydd y ffit ar gyfer model, tybir dyblygiadau annibynnol yn aml.  Fodd bynnag, pan roddir y data ar ffurf rhwydwaith, fel arfer dim ond un rhwydwaith sydd ar gael.  Gall dulliau cymarebau tebygolrwydd clasurol fethu hyd yn oed mewn modelau paramedrig, fel modelau graff ar hap mynegrifol, oherwydd cysonyn normaleiddio anhydrin, na ellir cyfrifo'r tebygolrwydd yn benodol.  Bydd y sgwrs hon yn cyflwyno rhai modelau’r rhwydwaith.  Byddwn yn cyflwyno prawf llwyddiant y ffit seiliedig ar graidd (sy'n seiliedig ar ddull Stein), yn rhoi gwarantau o berfformiad, ac yn dangos ei ddefnydd.  Mae'r sgwrs yn seiliedig ar waith ar y cyd gyda Nathan Ross a chyda Wenkai Xu.

Modelu mathemategol, efelychu a rheoli systemau go iawn mewn modd sy’n seiliedig ar ynni

Mae'r rhan fwyaf o systemau dynamegol yn y byd go iawn yn cynnwys is-systemau o barthau ffisegol gwahanol, wedi'u modelu gan hafaliadau differiad rhannol, hafaliadau differiad cyffredin a hafaliadau algebraidd, ynghyd â chysylltiadau mewnbwn ac allbwn.  Er mwyn delio â systemau mor gymhleth, yn ystod y blynyddoedd diwethaf, mae'r dosbarth o systemau disgrifiadol port-Hamiltonian (pH) gwasgarol wedi dod i'r amlwg fel methodoleg modelu llwyddiannus iawn.  Y prif resymau yw bod y cydgysylltiad systemau pH sy'n seiliedig ar rwydwaith eto yn pH, mae tafluniad Galerkin wrth arwahanu (discretization) PDE a lleihau modelau yn cadw'r strwythur pH, ac mae'r priodweddau ffisegol yn cael eu hamgodio yn eiddo geometrig y llif yn ogystal â nodweddion algebraidd yr hafaliadau.  Ar ben hynny, mae systemau pH gwasgarol yn ffurfio cynrychiolaeth gadarn iawn o dan aflonyddiad strwythuredig ac yn nodi'n uniongyrchol ffwythiannau Lyapunov ar gyfer dadansoddi sefydlogrwydd.  Mantais arall o fodelu seiliedig ar ynni trwy systemau pH yw y gall pob model ar wahân o system ffisegol fod yn gatalog model cyfan y gellir dewis modelau ohono mewn ffordd addasol mewn dulliau efelychu ac optimeiddio.  Byddwn yn trafod y dosbarth o systemau pH cyfyngedig ac yn dangos y gellir llunio llawer o fodelau mathemategol clasurol y byd go iawn yn y dosbarth hwn.  Byddwn yn dangos y canlyniadau gyda rhai enghreifftiau byd go iawn o drafnidiaeth nwy a systemau gwresogi ardal, ac yn tynnu sylw at heriau mathemategol sy'n dod i'r amlwg mewn systemau yn y byd go iawn.

Y fathemateg a all atal apocalyps deallusrwydd artiffisial

Crynodeb: Sut rydych chi'n atal deallusrwydd artiffisial (AI) rhag cymryd drosodd y byd?  Yn y ddarlith hon, bydd yr Athro Chamberlain yn trafod sut mae mathemateg yn darparu atebion hollbwysig.  Modelu mathemategol yw ochr fwyaf creadigol mathemateg gymhwysol, sydd ei hun yn cysylltu mathemateg bur â gwyddoniaeth a thechnoleg.  Mae modelau mathemategol yn edrych ar y byd go iawn, yn ei droi i fathemateg, yn datrys y fathemateg honno, ac yna yn cymhwyso'r datrysiad yn ôl i'r byd go iawn. Bydd yr Athro Chamberlain yn archwilio model mathemategol o gymhlethdodau ymddygiad dynol a achosodd gan Argyfwng Ariannol 2008, ac yna bydd yn mynd ymlaen i ddangos y gellir defnyddio'r un model i ymchwilio i sut i leihau'r siawns o ddeallusrwydd artiffisial yn meddiannu.  Dywedodd y diweddar Athro Stephen Hawking un tro, “Gallai datblygu deallusrwydd artiffisial llawn arwain at ddiwedd yr hil ddynol”.  Dywedodd hefyd ei fod yn dadlau dros waith ymchwil i fesurau rhagofalus i sicrhau bod peiriannau uwch-ddeallus yn y dyfodol yn parhau o dan reolaeth ddynol.  Fodd bynnag, nid yw apocalyps deallusrwydd artiffisial o reidrwydd yn robotiaid yn cerdded i lawr y stryd, gan fod sawl enghraifft yn fwy cynnil na hyn.  Felly, beth yw'r risg o apocalyps deallusrwydd artiffisial, ac a allwn ni gyfrifo'r tebygolrwydd hwn?

Modelu dementia

Mae afiechydon niwroddirywiol fel Alzheimer’s neu Parkinson’s yn gyflyrau
dinistriol gyda mecanweithiau nad oes llawer o ddealltwriaeth ohonynt a dim iachâd hysbys.

Ac eto, nodwedd drawiadol o'r anhwylderau hyn yw'r patrwm nodweddiadol o ymosodiad ledled yr ymennydd, gan arwain at gamau clefyd wedi'u codio'n dda sy'n weladwy i niwropatholeg ac sy'n gysylltiedig â diffygion gwybyddol amrywiol a phatholegau. Yn y cyflwyniad hwn, byddaf yn dangos sut y gallwn ddefnyddio modelu mathemategol i gael cipolwg ar y broses hon ac, wrth wneud hynny, cael rhywfaint o ddealltwriaeth o sut mae'r ymennydd yn gweithio. Yn benodol, drwy edrych ar ddynameg protein ar y rhwydwaith niwronal, gallwn ddatgelu rhai o'r nodweddion cyffredinol sy'n gysylltiedig â dementia sy'n cael eu gyrru gan topoleg y rhwydwaith a chineteg protein. Drwy gyplu'r dull hwn ymhellach â modelau swyddogaethol yr ymennydd, byddwn yn dangos y gallwn esbonio agweddau pwysig ar golli swyddogaethau wrth i’r clefydau ddatblygu.

Cyfri pethau:
geometreg algebraidd rhifiadol o theori llinyn

Ers canrifoedd mae mathemategwyr wedi cyffredinoli datganiadau fel "mae llinell unigryw drwy unrhyw 2 bwynt", ond gyda mwy o anawsterau technegol.
Ar ddiwedd yr 1990au gwnaeth syniadau newydd o fathemateg a ffiseg ganiatáu gwneud diffiniadau trylwyr o'r “problemau cyfrif cromlin” hyn.

Byddaf yn amlinellu dwy ffordd wahanol i gyfrif cromliniau, gan dybio dim ond ychydig
o ddadansoddiad cymhleth israddedig. Mae'r "damcaniaeth MNOP" yn nodi bod y ddau ddiffiniad yn rhoi gwybodaeth gyfatebol. Mae’r prawf diweddar gan
Pandharipande a Pixton wedi galluogi datrys problemau cyfrif amrywiol, megis y “ddamcaniaeth KKV” o theori llinyn, gan fynegi'r holl broblemau cyfrif cuTBArve ar “arwynebau K3” o ran ffurfiau modiwlaidd.

Systemau pwyntiau gyda rhyngweithiadau Coulomb

Cyfyd crynodiadau mawr o bwyntiau â rhyngweithiadau Coulomb mewn gwahanol gyd-destunau ffiseg mater cywasgedig, mecaneg glasurol a chwantwm, mecaneg ystadegol, matricsau ar hap a hyd yn oed theori brasamcanu, ac mae amrywiaeth o gwestiynau sy'n ymwneud â dadansoddi, Hafaliadau Differiad Rhannol a thebygolrwydd yn deillio ohonynt.

Byddwn yn adolygu'r cymhellion hyn yn gyntaf, ac yna'n cyflwyno deilliant "maes cymedrig" modelau a hafaliadau effeithiol sy'n disgrifio'r system ar y raddfa facrosgopig. Yna, byddwn yn esbonio sut i ddadansoddi'r ymddygiad trefn nesaf, gan roi gwybodaeth am y cyfluniadau ar lefel ficrosgopig a chysylltu â chwestiynau crisialu, gan orffen gyda'r disgrifiad o effaith tymheredd.

Grwpiau cwantwm a gwrth-bwl

Yn y diffiniad o grŵp mewn cwrs algebra sylfaenol, nid yw rhywun
yn gorfodi’r acsiom (g^-1)^-1 =g ar gyfer pob elfen o’r grŵp; yn hytrach
mae rhywun yn deillio’r hunaniaeth hon o’r acsiomau.

Mae grŵp cwantwm yn cyffredinoli grŵp sy'n disgrifio cymesuredd mwy cyffredinol. Mae grŵp cwantwm yn dod gyda map S: H → H sy'n cyffredinoli'r map g ↦g ^-1.

Ni ellir gwneud datganiad cyffredinol ar gyfer ail bŵer S^2 y map hwn; ond ar gyfer y pedwerydd pŵer, mae fformiwla benodol yn hysbys oherwydd Radford (1976). Rydym yn esbonio sut mae'r datganiad technegol hwn sy’n ymddangos yn un technegol wedi'i gysylltu'n ddwfn
â llawer o strwythurau clasurol mewn algebra.

Penderfyniaeth neu beidio mewn Tyllau Du

Mewn Perthnasedd Gyffredinol glasurol, mae gwerthoedd meysydd (e.e.
electromagnetig, hylifau, ...) ar ofod-amser yn cael eu pennu'n unigryw gan
eu gwerthoedd cychwynnol oddi mewn i "faes dibyniaeth". Fodd bynnag, gall ddigwydd bod yr ofod-amser dan ystyriaeth yn ymestyn y tu hwnt i'r maes hwn, ac felly nad yw meysydd yn cael eu pennu'n llwyr gan eu gwerthoedd cychwynnol. Yn wir, mae methiant penderfyniaeth o'r fath yn digwydd y tu mewn i bob twll du sy'n
ffisegol berthnasol.

Yr enw ar ffin y rhanbarth lle nad yw penderfyniaeth yn cael ei herio yw 'gorwel Cauchy'. Mae Penrose wedi cynnig ("dyfaliad sensoriaeth gosmig cryf") y gallai'r farn hon fod yn rhy naïf a bod gorwel Cauchy mewn gwirionedd yn ansefydlog: gallai'r aflonyddiad lleiaf ei droi'n unigoliaeth derfynol. Yn ddiweddar cwestiynwyd a yw hynny’n wir neu beidio --
ac felly a oes problem wirioneddol gyda phenderfyniaeth oddi mewn i dyllau du.

Yn y colocwiwm hwn, byddaf yn defnyddio lluniau i esbonio’r mater, ac yn trafod
a fydd effeithiau cwantwm yn dod i achub sensoriaeth gosmig gref.

Cydgasgliad-Trylediad a PDEs Cinetig ar gyfer ymddygiad ar y cyd:
cymwysiadau yn y gwyddorau

Byddaf yn cyflwyno arolwg o fodelau micro, meso a macrosgopig lle mae effeithiau
gwrthyriad ac atyniad yn cael eu cynnwys trwy
botensialau pâr.Byddaf yn trafod eu nodweddion mathemategol diddorol a’u
cymwysiadau mewn peirianneg a bioleg mathemategol. Mae priodweddau ansoddol
elfennau lleol sy’n lleiafu’r egni rhyngweithio yn hanfodol
er mwyn deall yr ymddygiadau cymhleth hyn. Byddaf yn arddangos ehangder
y cymwysiadau posibl gyda thair ffenomenon gwahanol mewn
cymwysiadau: gwahanu, pontio cyfnodau a chonsensws.

Casgliad cywir ar ôl dewis model

Mae casgliad ôl-ddethol yn fethodoleg braidd yn ddiweddar sy'n
ymgorffori'r amrywioldeb ychwanegol a ychwanegir trwy ddethol model i gyflawni
casgliad dilys. Pan na roddir model, ond mae'n ganlyniad i ymdrech chwilio am fodel, mae'r ansicrwydd ynghylch y model a ddefnyddir ar gyfer casgliad yn arwain at ganlyniadau ar gyfer profi damcaniaethau ac ar gyfer
adeiladu cyfyngau hyder ar gyfer paramedrau diddordeb
enghreifftiol .Mae anwybyddu'r ansicrwydd hwn yn arwain at ganlyniadau gor-optimistaidd,
gwerthoedd p sy'n rhy fach a chyfyngau hyder sy'n rhy gul.

Yn y sgwrs hon, byddwn yn canolbwyntio'n bennaf ar y maen prawf gwybodaeth Akaike adnabyddus (AIC) ar gyfer dewis model a'r effeithiau ar adeiladu cyfyngau hyder ar ôl ei ddefnyddio. Drwy ddatod y dull dethol, mae'n bosibl ymgorffori'r ansicrwydd ynghylch y model a ddewiswyd a chael cyfyngau hyder sydd â'r cwmpas cywir.

O ganlyniad, mae'r cyfyngau hyder dethol ôl-AIC yn ehangach na'r cyfyngau hyder
naïf clasurol, gan ategu o’r newydd bod anwybyddu dewis model
yn arwain at gasgliad annilys.

29 Ebrill 2020

Yr Athro Mathias Gaberdiel (ETH Zürich)

Gohiriwyd oherwydd
pandemig y coronafeirws

18 Mawrth 2020

Yr Athro Nick Higham FRS (Manceinion)

Gohiriwyd oherwydd
pandemig y coronafeirws

13 Chwefror 2024

Frank Sottile (Prifysgol A&M Texas)

Grwpiau Galois mewn geometreg rifiadol a chymwysiadau.

Yn 1870 esboniodd Jordan sut y gellir cymhwyso theori Galois i broblemau o geometreg rifiadol, gyda grŵp Galois yn amgodio strwythur cynhenid ​​​​y broblem.  Yn gynharach, dangosodd Hermite gywerthedd grwpiau Galois â grwpiau monodromi geometrig, ac yn 1979 cychwynnodd Harris yr astudiaeth fodern o grwpiau Galois o broblemau rhifiadol.  Dywedodd y dylai grŵp Galois fod “mor fawr â phosibl”, gan mai hwn fydd y grŵp mwyaf i gadw cymesuredd mewnol yn y broblem geometrig.  Byddaf i’n disgrifio’r cefndir hwn ac yn trafod rhywfaint o waith yn rhan o brosiect hirdymor i gyfrifo, astudio a defnyddio grwpiau Galois o broblemau geometrig, gan gynnwys y rhai sy’n codi wrth gymhwyso geometreg algebraidd.  Un ffocws pwysig yw deall grwpiau Galois yn y calcwlws Schubert, dosbarth o broblemau geometrig a ddeellir yn dda sydd wedi bod yn labordy ar gyfer profi syniadau newydd mewn geometreg rifiadol ers tro byd.