Cyfres o ddarlithoedd rhyngddisgyblaethol

Yn y ddarlith hon i gynulleidfa gyffredinol, byddwn yn cyfuno offer o theori dadansoddi (ac yn arbennig dadansoddi sbectrol) a thebygolrwydd i ymchwilio i briodweddau dadfeilio amser systemau ffisegol amrywiol (megis lledaeniad gwres y tu mewn i gyfaint). Mae'n hysbys bod bwlch sbectrol yn cyfateb i anghydraddoldeb Poincaré fel y'i gelwir a’i fod yn dadfeilio’n esbonyddol. Ar ôl egluro'r syniadau hyn, byddwn yn gweld sut y gellir ymestyn rhai o'r canlyniadau hyn i achosion lle nad oes yr un bwlch sbectrol. Dyma waith ar y cyd ag Amit Einav (Graz).

Rhennir y ddarlith hon yn ddwy ran. Yn y rhan gyntaf, byddaf yn rhoi trosolwg byr o rywfaint o'm hymchwil ar sut y gellir defnyddio modelau damcaniaethol o graffiau i ddatrys (neu o leiaf eu datrys yn fras) rhai problemau yn y byd go iawn o ran ymchwil weithredol.

Astudiaeth achos fanylach ar broblem uchafswm y fertigau hapus, sy’n deillio o waith diweddar a wnaed gyda chydweithwyr yn Awstralia [1] fydd yr ail hanner. Dyma fath newydd o broblem sy'n ymwneud â phennu lliwio fertigau ar graff fel y bydd nifer y fertigau a neilltuir i'r un lliw â lliw pob un o'u cymdogion yn cyrraedd uchafbwynt. Mae'r broblem hon yn un ddibwys os nad yw’r un fertigau wedi'u lliwio ymlaen llaw, er ei bod yn NP-anodd ar y cyfan.

[1] Lewis, R., D. Thiruvady a K. Morgan (2019) 'Finding Happiness: An Analysis of the Maximum Happy Vertices Problem'. Computers and Operations Research, cyf. 103, tt. 265-276.

Matrics sgwâr yw matrics eiledol ei arwydd (ASM) os mai -1, 0 neu 1 yw pob cofnod, ac ar hyd pob rhes a cholofn mae'r cofnodion heb fod yn sero yn newid yr arwydd bob yn ail, gan ddechrau ac yn gorffen ag 1. Bydd y ddarlith hon yn rhoi cyflwyniad elfennol i gyfuneg matricsau ASM, a bydd yn cynnwys amlinelliad o brawf diweddar o ddyfaliad yn achos nifer yr ASM sy’n gymesur yn groeslinol ac yn wrthgroeslinol ac sy’n odrifau.

Byddaf yn rhoi trosolwg a chyflwyniad i gymesuredd cydffurfiol. Mae strwythurau sy'n dangos cymesuredd cydffurfiol yn gaeth mewn perthynas â newidiadau mewn cyfesurynnau sy'n cadw onglau, ond nid o reidrwydd yr hyd. Mewn dau ddimensiwn mae algebra trawsnewidiadau cydffurfiol lleol yn ddimensiwn diddiwedd ac felly'n arwain at strwythurau mathemategol cyfoethog sydd â goblygiadau hynod ddiddorol i ffiseg, megis theorïau maes cwantwm y gellir eu datrys yn fanwl gywir.

Dyluniad syml iawn yw’r treial un garfan (single-arm trial): mae pawb yn cael triniaeth (ym maes oncoleg yn bennaf) ac yn aros i weld a yw’n gweithio, yn nhermau ymateb deuol. Mae’n cymryd yn ganiataol na fydd y rheini nad ydynt yn cael eu trin yn gwella neu â siawns fach (p0) o wella gyda’r gobaith y bydd y driniaeth yn gwella’r ymateb i’r siawns p1. Un gwelliant i’r dyluniad hwn yw fersiwn ymaddasol lle cynhelir dadansoddiad dros dro ar ôl arsylwi ar ganlyniadau’r cyfranogwyr n1 cyntaf. Nod y dadansoddiad dros dro yw dod â’r treial i ben mor gynnar â phosibl gan nad yw’r driniaeth yn gweithio.

Mae’r fersiwn ymaddasol o ddyluniad y treial hwn yn aml yn cael ei galw’n ‘ddyluniad dau gam Simon’ ac efallai mai hwn yw’r dyluniad ymaddasol a ddefnyddir fwyaf aml yn ymarferol. Fodd bynnag, mae canlyniadau adolygiad yn dangos sut y gellir camddefnyddio dyluniad oherwydd safon wael yr adrodd a diffyg cydymffurfio â dyluniad.  Byddaf yn disgrifio’r ffyrdd gwahanol o wella’r dyluniad hwn, megis gwneud llawer o fesurau dros dro, bod yn Bayesaidd, ychwanegu biofarcwyr a chymharu’r dull hwn â dyluniadau hap. Mae’n bosibl, yn y pen draw, y byddaf yn dechrau hoffi’r dyluniad hwn.

Mae’r ddarlith yn trafod sawl mater sy’n perthyn i bynciau gwahanol. Yn gyntaf, byddaf yn sôn am ddilyniannau sydd wedi eu dosbarthu’n unffurf a nodweddion gwahanol unffurfiaeth. Yn ail, byddaf yn dadlau, yn wahanol i’r gred gyffredin, nad yw dilyniannau â nodweddion da o ran llenwi gofodau’n debyg i ddilyniannau a ddosberthir yn unffurf, yn enwedig os yw dimensiwn y gofod yn fawr. Byddaf yn treulio’r rhan fwyaf o’r amser yn trafod gorchuddio ciwb dimensiwn uchel â pheli n a byddaf yn dangos sawl ffenomen annisgwyl sy’n gysylltiedig â phatrymau gorchuddio da. Byddaf hefyd yn sôn am y broblem o ran cwanteiddio, sydd hefyd yn cael ei alw y broblem o ran lleoliad delfrydol cyfleusterau.

Mae data sydd ar goll yn broblem gyffredin wrth ddadansoddi data. Ceir dulliau syml i ymdrin â'r broblem hon ond nid ydynt bob amser yn ddelfrydol gan y bydd y rhain weithiau’n gogwyddo’r dadansoddiad. Yn y cyflwyniad hwn byddaf yn adolygu maes y data sydd ar goll ac yn cyflwyno rhai pynciau rwyf wedi ymlafnio i’w datrys yn y maes hwn. Yn benodol, byddaf yn siarad am y dull o briodoli lluosog yn ddull sy’n apelio er mwyn ymdrin â’r broblem hon. Byddaf hefyd yn trafod y dull o ymdrin â phroblem data sydd ar goll wrth ddylunio arbrawf.

Os bydd digon o amser, byddaf hefyd yn siarad am broblem cyfrinachedd data. Yn y maes hwn, mae tensiwn rhwng sefydliadau sy'n dal data ac yn rhyddhau data defnyddiol i ymchwilwyr a'r cyhoedd tra eu bod hefyd yn diogelu preifatrwydd yr unigolion hynny a ddarparodd y data. Byddaf yn canolbwyntio yma ar faes data synthetig yn ddull ymarferol o fynd i’r afael â’r broblem hon.

Rwy'n bwriadu i'r ddarlith hon fod yn hygyrch i gynulleidfa eang felly byddaf yn ceisio peidio â mynd yn rhy ddwfn i’r manylion technegol gan geisio cyflwyno yn hytrach y problemau a'r dulliau ymchwil mewn ffordd annhechnegol pryd bynnag y bo modd.