Ymchwil

Mae ein prif gyfeiriadau ymchwil yn cynnwys:

• theori sbectrol, cymwysiadau a dulliau rhifiadol
• mecaneg cwantwm, problemau gwrthdro
• dulliau asymptotig ac amrywiadol ar gyfer hafaliadau gwahaniaethol rhannol aflinol, yn enwedig homogeneiddio (stocastig);
• hafaliadau differol rhannol geometrig a stocastig
• theori rhif cyfansoddiadol a dadansoddol, ffwythiannau arbennig
• cymhwyso dulliau dadansoddol (e.e. prosesu delweddau, geneteg feddygol, terfynau graddio ar gyfer systemau gronynnau rhyngweithiol).

Ffocws

Theori sbectrol

Yn 1966 gofynnodd Mark Kac y cwestiwn rhaglennol "A yw'n bosibl i rywun glywed siâp drwm?" h.y. a yw parth planar yn cael ei bennu'n unigryw (hyd at gyfathiant) gan sbectrwm ei Dirichlet Laplacian?

Ers hynny mae'r cwestiwn hwn wedi cael ei ateb yn negyddol, ond mae geometrig sbectrol - astudio sut mae nodweddion geometrig a thopolegol parthau a maniffoldau'n cael eu hadlewyrchu yn y sbectra o weithredwyr gwahaniaethol cysylltiedig - yn faes mathemategol llewyrchus gyda goblygiadau i theori rhif a ffiseg.

Mae ein diddordebau eraill mewn theori sbectrol yn cynnwys:

• gweithredwyr ffiseg fathemategol, er enghraifft cwestiynau sefydlogrwydd yn cynnwys amcangyfrifon ansoddol a meintiol ac asymptotigau lled-glasurol ar gyfer gweithredwyr yn deillio o'r gweithredwr mecaneg cwantwm berthnaseddol Dirac, megis gweithredwr Brown-Ravenhall, ac estyniadau i leoliad damcaniaethol maes cwantwm
• problemau nad ydynt yn hunan-atgydio, gan gynnwys brasamcanu sbectrol, llygredd a gweithredwr sbectrol gyda strwythur bloc arbennig
• problemau sbectrol gwrthdro, gan gynnwys problemau delweddu a systemau Maxwell
• triphlygion ffin a'u cymwysiadau i theori sbectrol (systemau) PDEs.

PDEs geometrig a stocastig

Mae llawer o broblemau ffisegol, yn arbennig y rheini sy'n ymwneud â thrawsnewid gwedd, niwcleiddio a hafaliadau esblygiad ar gyfer ffiniau a rhyngwynebau rhydd, yn cynnwys modelau mathemategol lle ceir digon o anhrefn ar raddfa hyd ddigon bach fel bod y dadansoddiad mwyaf effeithiol o'u datrysiadau macrosgobig yn golygu dadansoddi hafaliadau gwahaniaethol rhannol gyda chyfernodau stocastig a therfynau graddio. Rydym yn gweithio ar sawl pwnc yn y meysydd hyn, gan gynnwys:

• rhyngwynebau mewn cyfryngau heterogenaidd ac ar hap a PDEs aflinol cysylltiedig
• Prosesau Stocastig rhyngweithiol a'u terfynau graddio; PDEs aflinol stocastig
• PDEs aflinol a Phrosesau Stocastig
• homogeneiddio a chydgyfeiriant-Gamma
• terfynau graddio hafaliadau gwahaniaethol a aflonyddir yn unigol

Dull modern iawn arall o ymdrin â rhai dosbarthiadau o hafaliadau gwahaniaethol rhannol aflinol yw drwy syniadau a ddaw o geometreg. Mae gennym ddiddordebau penodol mewn problemau'n ymwneud â maniffoldau is-Riemanaidd, nad ydynt yn isomorffig i ofod Ewclidaidd ar unrhyw raddfa hyd. Yn y cyd-destunau hyn rydym ni wedi gallu addasu technegau o galcwlws o amrywiadau, a chyffredinoli syniadau o amgrymedd, sy’n gadael i ni drin PDEs is-eliptig ac uwch-barabolig. Mae'r hafaliadau hyn yn digwydd mewn llawer o gymwysiadau annisgwyl a newydd, gan gynnwys modelu'r haen gyntaf o'r cortecs gweledol a phroblemau mewn cyllid yn gysylltiedig â phrisio opsiynau Asiaidd.

Theori rhif dadansoddol

Sefydlwyd Theori Rhif Caerdydd gan yr Athro Christopher Hooley FRS ac mae'n dal i fod yn un o'n meysydd mwyaf poblogaidd ar gyfer astudiaethau doethurol.

Rydym ni'n weithredol mewn ymchwil ar nifer o bynciau clasurol:

• rhifau cysefin
• ffwythiant zeta Riemann
• polynomialau Dirichlet
• symiau esbonyddol
• symiau Dedekind
• symiau Kloosterman
• y grŵp modiwlaidd
• ffurfiau tonnau Maass
• fformiwlâu olrhain Selberg a Kuznetsov
• pwyntiau dellt yn y plân a phroblem cylch Gauss
• gwahanol gyfluniadau o bwyntiau dellt mewn siâp sy'n symud, yn ogystal â phwyntiau cyfanrif yn agos at hyperarwynebau a pholytopau.

Mae gennym ddiddordeb hefyd mewn problemau yn y rhyngwyneb rhwng theori rhif a theori sbectrol, fel arfer yn codi o geometreg sbectrol.